Question

【題目】數學課上，李老師出示了如下框中的題目．


小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：
（1）特殊情況探索結論
當點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與的DB大小關系．請你直接寫出結論：AEDB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例啟發，解答題目
解：題目中，AE與DB的大小關系是：AEDB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：
如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F，（請你完成以下解答過程）
（3）拓展結論，設計新題
在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC．若△ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長（請你直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】
（1）=
（2）=
（3）

解：分為四種情況：

如圖1：

∵AB=AC=1，AE=2，

∴B是AE的中點，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形（根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半），

∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，

∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，

∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°，

即△DEB是直角三角形．

∴BD=2BE=2（30°所對的直角邊等于斜邊的一半），

即CD=1+2=3．

如圖2，

過A作AN⊥BC于N，過E作EM⊥CD于M，

∵等邊三角形ABC，EC=ED，

∴BN=CN= BC= ，CM=MD= CD，AN∥EM，

∴△BAN∽△BEM，

∴ ，

∵△ABC邊長是1，AE=2，

∴ = ，

∴MN=1，

∴CM=MN﹣CN=1﹣ = ，

∴CD=2CM=1；

如圖3，

∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC=120°），而∠ECD不能大于120°，否則△EDC不符合三角形內角和定理，

∴此時不存在EC=ED；

如圖4

∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，

又∵∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠ECD＞∠EDC，

即此時ED≠EC，

∴此時情況不存在，

答：CD的長是3或1．

【解析】解：（1.）答案為：=．
（2.）答案為：=．
證明：在等邊△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°，
∴AE=AF=EF，
∴AB﹣AE=AC﹣AF，
即BE=CF，
∵∠ABC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∴∠BED=∠FCE，
在△DBE和△EFC中
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB=EF，
∴AE=BD．
（1）根據等邊三角形的性質和三角形的內角和定理求出∠D=∠ECB=30°，∠ABC=60°，求出∠D=∠DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案；（2）作EF∥BC，證出等邊三角形AEF，再證△DBE≌△EFC即可得到答案；（3）分為四種情況：畫出圖形，根據等邊三角形性質求出符合條件的CD即可．