Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx的頂點為P（2，4），直線y=x與拋物線交于點A．拋物線與x軸的另一個交點是點B.

（1）求拋物線的解析式和點A的坐標；

（2）求四邊形APOB的面積；

（3）M是拋物線上位于直線y=x上方的一點，當點M的坐標為多少時，△MOA的面積最大？

Answer 1

【答案】(1)y=-x2+4x，A( ，)；（2）；（3）M（， ）.

【解析】

（1）因為頂點為P（2，4），所以帶入頂點坐標公式就可以求得解析式；拋物線的解析式和直線解析式聯立組成方程組，即可求出點A的坐標；

（2）把四邊形APOB的面積分割成兩個直角三角形和直角梯形；

（3）作MN∥y軸，交OA于點N，設M（m,-m2+4m），則N（m，m），所以MN=-m2+4m-m=-m2+m，可得：S△MOA=××（-m2+m）=-m2+m，根據拋物線開口向下，所以面積有最大值得解.

解：（1）由題意得： ，解得

∴y=-x2+4x

∵直線y=x與拋物線交于點A ，

∴ 解得 ，，即A( ，)

（2）∵y=-x2+4x與x軸的另一個交點是點B.

∴y=0代入解析式得：-x2+4x=0，

解得x1=0 ， x2=4，∴點B的坐標是（4,0）

∴S四邊形APOB=×2×4+ (4+)×（-2）+×（4-）×=

（3）如圖，作MN∥y軸，交OA于點N，設M（m,-m2+4m），則N（m，m）

∴MN=-m2+4m-m=-m2+m

∴S△MOA=××（-m2+m）=-m2+m.

∵-<0，開口向下，

∴當m= -= 時，S△MOA最大，

即M（， ）