Question

【題目】已知拋物線C：y=-x2+bx+c經過A（-3，0）和B（0，3）兩點，將這條拋物線的頂點記為M，它的對稱軸與x軸的交點記為N．

（1）求拋物線C的表達式；

（2）求點M的坐標；

（3）將拋物線C平移到拋物線C′，拋物線C′的頂點記為M′，它的對稱軸與x軸的交點記為N′．如果以點M、N、M′、N′為頂點的四邊形是面積為16的平行四邊形，那么應將拋物線C怎樣平移？為什么？

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）M（-1，4）．（3）將拋物線C向左或向右平移4個單位可得符合條件的拋物線C′或將拋物線C先向左或向右平移4個單位，再向下平移8個單位，可得符合條件的拋物線C′．理由見解析.

【解析】

（1）直接把A（-3，0）和B（0，3）兩點代入拋物線y=-x2+bx+c，求出b，c的值即可；

（2）根據（1）中拋物線的解析式可得出其頂點坐標；

（3）根據平行四邊形的定義，可知有四種情形符合條件，如解答圖所示．需要分類討論．

解：（1）∵拋物線y=-x2+bx+c經過A（-3，0）和B（0，3）兩點，

∴，

解得，

故此拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3；

（2）∵由（1）知拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3，

∴當x=-時，y=4，

∴M（-1，4）．

（3）由題意，以點M、N、M′、N′為頂點的平行四邊形的邊MN的對邊只能是M′N′，

∴MN∥M′N′且MN=M′N′．

∴MNNN′=16，

∴NN′=4．

i）當M、N、M′、N′為頂點的平行四邊形是MNN′M′時，將拋物線C向左或向右平移4個單位可得符合條件的拋物線C′；

ii）當M、N、M′、N′為頂點的平行四邊形是MNM′N′時，將拋物線C先向左或向右平移4個單位，再向下平移8個單位，可得符合條件的拋物線C′．

∴上述的四種平移，均可得到符合條件的拋物線C′．