Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，點D是BC邊上的一個動點（不與B、C重合），在AC上取一點E，使∠ADE＝45°．

（1）求證：△ABD∽△DCE；

（2）設BD＝x，AE＝y，求y關于x的函數關系式及自變量x的取值范圍，并求出當BD為何值時AE取得最小值？

（3）在AC上是否存在點E，使△ADE是等腰三角形？若存在，求AE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）y＝x2﹣x+1；；當x＝時，y有最小值，最小值為；

（3）在AC上存在點E，使△ADE是等腰三角形，AE的長為2﹣或．

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質可得：∠B＝∠C＝∠ADE＝45°，再根據三角形外角的性質可得：∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，從而得出∠BAD＝∠CDE，最后根據有兩組對應角相等的兩個三角形相似即可證出△ABD∽△DCE；

（2）由△ABD∽△DCE，可得：＝，然后分別用x和y表示出CD、EC，代入到比例式中即可求出y關于x的函數關系式，再根據點D是BC邊上的一個動點（不與B、C重合），即可求出x的取值范圍，最后根據二次函數求最值即可；

（3）根據等腰三角形腰的情況分類討論：當AD＝DE時，可得：△ABD≌△DCE，從而可得BD＝CE，根據此等式列方程即可求出AE；當AE＝DE時，可得：△ADE為等腰直角三角形，即DE⊥AC，由相似的性質得AD⊥BC，根據三線合一可得D是BC中點，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AD=DC，從而得出：E也是AC的中點,即可求出AE; 當AD＝AE時，因為∠ADE=45°，可得∠DAE＝90°，此時D與B重合，不符合題意.

（1）證明：

∵∠BAC＝90°，AB＝AC

∴∠B＝∠C＝∠ADE＝45°

∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE

∴∠BAD＝∠CDE

∴△ABD∽△DCE；

（2）由（1）得△ABD∽△DCE，

∴＝

∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，

∴BC＝，CD＝﹣x，EC＝1﹣y，

∴＝，即y＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+，

∵點D是BC邊上的一個動點（不與B、C重合）

∴0＜BD＜BC

即

當x＝時，y有最小值，最小值為；

（3）當AD＝DE時，△ABD≌△DCE，

∴BD＝CE，

∴x＝1﹣y，即x﹣x2＝x，

∵x≠0，

∴等式左右兩邊同時除以x得：x＝﹣1，將x＝﹣1代入y= x2﹣x+1中，

∴AE＝y＝2﹣，

當AE＝DE時，

∵∠ADE=45°

∴△ADE為等腰直角三角形

∴DE⊥AC，

∴AD⊥BC

∴D是BC中點，

∴AD=DC

∴E也是AC的中點，

所以，AE＝；

當AD＝AE時，

∵∠ADE=45°

∴∠DAE＝90°，D與B重合，不符合題意；

綜上，在AC上存在點E，使△ADE是等腰三角形，

AE的長為2﹣或．