Question

【題目】如圖，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜邊AB的中點，點D、E分別在直角邊AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于點P．則下列結論：

（1）圖形中全等的三角形只有兩對；

（2）△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍；

（3）CD+CE=OA；

（4）AD2+BE2=2OPOC．其中正確的結論有（　　）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】解：結論（1）錯誤．理由如下：

圖中全等的三角形有3對，分別為△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．

由等腰直角三角形的性質，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．

∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．

在△AOD與△COE中，

∴△AOD≌△COE（ASA）．

同理可證：△COD≌△BOE．

結論（2）正確．理由如下：

∵△AOD≌△COE，∴S△AOD=S△COE，∴S四邊形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC，即△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍．

結論（3）正確，理由如下：

∵△AOD≌△COE，∴CE=AD，∴CD+CE=CD+AD=AC=OA．

結論（4）正確，理由如下：

∵△AOD≌△COE，∴AD=CE；∵△COD≌△BOE，∴BE=CD．

在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，∴AD2+BE2=DE2．

∵△AOD≌△COE，∴OD=OE．又∵OD⊥OE，∴△DOE為等腰直角三角形，∴DE2=2OE2，∠DEO=45°．∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE，∴△OEP∽△OCE，∴，即OPOC=OE2，∴DE2=2OE2=2OPOC，∴AD2+BE2=2OPOC．

綜上所述：正確的結論有3個．故選C．