Question

【題目】（1）課本情境:如圖，已知矩形AOBC，AB＝6cm，BC＝16cm，動點P從點A出發，以3cm/s的速度向點O運動，直到點O為止；動點Q同時從點C出發，以2cm/s的速度向點B運動，與點P同時結束運動，出發　 　時，點P和點Q之間的距離是10cm；

（2）逆向發散:當運動時間為2s時，P，Q兩點的距離為多少？當運動時間為4s時，P，Q兩點的距離為多少？

（3）拓展應用：若點P沿著AO→OC→CB移動，點P，Q分別從A，C同時出發，點Q從點C移動到點B停止時，點P隨點Q的停止而停止移動，求經過多長時間△POQ的面積為12cm2？

Answer 1

【答案】（1）或 （2）； （3）或

【解析】

(1)過點P作PE⊥BC于E，得到AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，利用勾股定理得到方程，故可求解；

（2）根據運動時間求出EQ、PE，利用勾股定理即可求解；

(3) 分當點P在AO上時，當點P在OC上時和當點P在CB上時，根據三角形的面積公式列出方程即可求解．

解：（1）設運動時間為t秒時，如圖，過點P作PE⊥BC于E，

由運動知，AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，

∵點P和點Q之間的距離是10 cm，

∴62+（16﹣5t）2＝100，

解得t1=，t2=，

∴t＝或.

故答案為或

（2）t=2時，由運動知AP＝3×2＝6 cm，CQ＝2×2＝4 cm，

∴四邊形APEB是矩形，

∴PE＝AB＝6，BE＝6，

∴EQ＝BC﹣BE﹣CQ＝16﹣6﹣4＝6，

根據勾股定理得PQ=,

∴當t＝2 s時，P，Q兩點的距離為6 cm；

當t＝4 s時，由運動知AP＝3×4＝12 cm，CQ＝2×4＝8cm，

∴四邊形APEB是矩形，

∴PE＝AB＝6，BQ＝8，CE=OP=4

∴EQ＝BC﹣CE﹣BQ＝16﹣4﹣8＝4，

根據勾股定理得PQ=,

P，Q兩點的距離為2cm.

（3）點Q從C點移動到B點所花的時間為16÷2=8s，

當點P在AO上時，S△POQ＝＝＝12，

解得t＝4．

當點P在OC上時，S△POQ＝＝＝12，

解得t＝6或﹣（舍棄）．

當點P在CB上時，S△POQ＝＝＝12，

解得t＝18＞8（不符合題意舍棄），

綜上所述，經過4 s或6 s時，△POQ的面積為12 cm2．