Question

已知：拋物線的對稱軸是x=2，且經過點A（1，0），且與x軸的另一個交點為B，與y軸交于點C。
（1）確定此二次函數的解析式及頂點D的坐標；
（2）將直線CD沿y軸向下平移3個單位長度，求平移后直線m的解析式；
（3）在直線m上是否存在一點E，使得以點E、A、B、C為頂點的四邊形是梯形，如果存在，求出滿足條件的E點的坐標，如果不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）拋物線的對稱軸是x=2，且經過點A（1，0），
，
∴b=-4，c=3，
∴y=x²-4x+3，
∴y=（x-2）²-1，
∴頂點F坐標（2，-1）；
（2）設CD的解析式為：y=kx+b，
D（2，-1），C（0，3），
∴，
解得：k=-2，b=3，
∴DC的解析式為：y=-2x+3，
設平移后直線m的解析式為：y=-2x+k，
∵直線CD沿y軸向下平移3個單位長度，
∴直線m經過原點，
∴平移后直線m的解析式為：y=-2x；
（3）過點C作CE∥AB交M于點E，
由，
∴x=，y=3，
∴E點的坐標為（，3），
過點A作E₁A∥BC交m于點E₁，
設CB解析式為y=kx+b，
∵經過B（3，0），C（0，3），
∴CB解析式為：y=-x+3，
設E₁A解析式為：y=-x+b，
∵E₁A過點A（1，0），
∴b=1，
∴E₁A的解析式為y=-x+1，
∵y=-2x，
∴x=-1，y=2，
∴E₁點坐標為（-1，2），
過點B作BE₃∥AC，則可求E₃坐標為：E₃（9，-18）。