Question

【題目】已知：AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，E是直線AB上一動點（不與點A、B、G重合），直線DE交⊙O于點F，直線CF交直線AB于點P．設⊙O的半徑為r．

（1）如圖1，當點E在直徑AB上時，試證明：

（2）當點E在直徑AB（或BA）的延長線上時，以如圖2點E的位置為例，請你畫出符合題意的圖形，標注上字母，（1）中的結論是否成立？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）成立，理由見解析．

【解析】

試題（1）如圖，連接FO并延長交⊙O于Q，連接DQ．由FQ是⊙O直徑得到∠QFD+∠Q=90°，又由CD⊥AB得到∠P+∠C=90°，然后利用已知條件即可得到∠QFD=∠P，然后即可證明△FOE∽△POF，最后利用相似三角形的性質即可解決問題；

（2）（1）中的結論成立．如圖2，依題意畫出圖形，連接FO并延長交⊙O于M，連接CM．由FM是⊙O直徑得到∠M+∠CFM=90°，又由CD⊥AB，得到∠E+∠D=90°，接著利用已知條件即可證明∠CFM=∠E，然后利用已知條件證明△POF∽△FOE，最后利用相似三角形的性質即可證明題目的結論．

試題解析：（1）證明：如圖1，連接FO并延長交⊙O于Q，連接DQ．

∵FQ是⊙O直徑，

∴∠FDQ=90°．

∴∠QFD+∠Q=90°．

∵CD⊥AB，

∴∠P+∠C=90°．

∵∠Q=∠C，

∴∠QFD=∠P．

∵∠FOE=∠POF，

∴△FOE∽△POF．

∴．

∴OEOP=OF2=r2．

（2）解：（1）中的結論成立．

理由：如圖2，依題意畫出圖形，連接FO并延長交⊙O于M，連接CM．

∵FM是⊙O直徑，

∴∠FCM=90°，

∴∠M+∠CFM=90°．

∵CD⊥AB，

∴∠E+∠D=90°．

∵∠M=∠D，

∴∠CFM=∠E．

∵∠POF=∠FOE，

∴△POF∽△FOE．

∴，

∴OEOP=OF2=r2．