Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為矩形，將矩形ABCD沿MN折疊，折痕為MN，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在AD邊上，已知AB＝6，AD＝4．

(1)若點(diǎn)B′與點(diǎn)D重合，連結(jié)DM，BN，求證：四邊形BMB′N為菱形；

(2)在(1)問條件下求出折痕MN的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)MN=.

【解析】

（1）首先證明四邊形BMDN是平行四邊形，再證明BM＝DM，即可證明四邊形BMB'N為菱形.（2）首先設(shè)BM＝x，利用在Rt△AMB′中，結(jié)合勾股定理，求解x的值，在計(jì)算NQ，在Rt△MNQ中，利用勾股定理，即可得MN的長(zhǎng).

解：(1)由折疊可得，BM＝DM，∠BMN＝∠DMN，

∵CD∥AB，

∴∠BMN＝∠DNM，

∴∠DMN＝∠DNM，

∴DN＝DM，

∴BM＝MD＝DN，

又∵DN∥BM，

∴四邊形BMDN是平行四邊形，

又∵BM＝DM，

∴四邊形BMB'N為菱形；

(2)設(shè)BM＝x，則DM＝x，AM＝6﹣x，

在Rt△AMB′中，由勾股定理可得，(6﹣x)2+42＝x2，

求解得x＝，

則DM＝＝DN，

如圖，過點(diǎn)M作MQ⊥CD于點(diǎn)Q，則

NQ＝-(6-)＝，

在Rt△MNQ中，利用勾股定理可得MN＝ ＝．