Question

在平面直角坐標系xOy中,反比例函數的圖象與拋物線交于點A(3, n).

（1）求n的值及拋物線的解析式；
（2） 過點A作直線BC，交x軸于點B，交反比例函數（）的圖象于點C，且AC=2AB，求B、C兩點的坐標；   
（3）在（2）的條件下，若點P是拋物線對稱軸上的一點，且點P到x軸和直線BC的距離相等，求點P的坐標.

Answer 1

（1）
（2）B(4，0)
（3）點P的坐標為或

解：（1）∵點A(3, n)在反比例函數的圖象上，
.……………………………………………………………………1分
∴A(，).
∵點A(，)在拋物線上，

∴ . 
∴拋物線的解析式為．    …………………………2分
（2）分別過點A、C作x軸的垂線，垂足分別為點D、E，

∴AD∥CE.
∴△ABD∽△CBE.
∴．
∵AC＝2AB，∴.
由題意，得AD＝,
∴.
∴CE＝4．……………………3分
即點C的縱坐標為4.
當y＝4時，x＝1，
∴C(1，4) ………………… 4分
∵ DE＝2,
∴
∴BD＝1．
∴B(4，0).  ……………………………………………………………5分
（3）∵拋物線的對稱軸是，
∴P在直線CE 上.
過點P作PF⊥BC于F.
由題意，得PF＝PE.
∵∠PCF =∠BCE, ∠CFP =∠CEB =90°,
∴△PCF ∽△BCE.
∴．
由題意，得BE=3，BC="5."
①當點P在第一象限內時，設P(1，a) (a＞0).
則有 解得
∴點P的坐標為. ……………………………………………6分
②當點P在第四象限內時，設P(1， a) (a＜0)
則有 解得
∴點P的坐標為.……………………………………………7分
∴點P的坐標為或.