Question

【題目】如圖（1），已知正方形ABCD在直線MN的上方BC在直線MN上，E是BC上一點，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG．

（1）連接GD，求證：△ADG≌△ABE；

（2）連接FC，觀察并直接寫出∠FCN的度數（不要寫出解答過程）

（3）如圖（2），將圖中正方形ABCD改為矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，E是線段BC上一動點（不含端點B、C），以AE為邊在直線MN的上方作矩形AEFG，使頂點G恰好落在射線CD上．判斷當點E由B向C運動時，∠FCN的大小是否總保持不變，若∠FCN的大小不變，請求出tan∠FCN的值．若∠FCN的大小發生改變，請舉例說明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠FCN＝45°，理由見解析；（3）當點E由B向C運動時，∠FCN的大小總保持不變，tan∠FCN＝．理由見解析.

【解析】

（1）根據三角形判定方法進行證明即可．

（2）作FH⊥MN于H．先證△ABE≌△EHF，得到對應邊相等，從而推出△CHF是等腰直角三角形，∠FCH的度數就可以求得了．

（3）解法同（2），結合（1）（2）得：△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，得出EH=AD=BC=8，由三角函數定義即可得出結論．

（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，

∴AB＝AD，AE＝AG＝EF，∠BAD＝∠EAG＝∠ADC＝90°，

∴∠BAE+∠EAD＝∠DAG+∠EAD，∠ADG＝90°＝∠ABE，

∴∠BAE＝∠DAG，

在△ADG和△ABE中，

，

∴△ADG≌△ABE（AAS）．

（2）解：∠FCN＝45°，理由如下：

作FH⊥MN于H，如圖1所示：

則∠EHF＝90°＝∠ABE，

∵∠AEF＝∠ABE＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠FEH+∠AEB＝90°，

∴∠FEH＝∠BAE，在△EFH和△ABE中，

，

∴△EFH≌△ABE（AAS），

∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，

∴CH＝BE＝FH，

∵∠FHC＝90°，

∴∠FCN＝45°．

（3）當點E由B向C運動時，∠FCN的大小總保持不變，理由如下：

作FH⊥MN于H，如圖2所示：

由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90°，

結合（1）（2）得：△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，

∴EH＝AD＝BC＝8，

∴CH＝BE，

∴；

在Rt△FEH中，tan∠FCN＝，

∴當點E由B向C運動時，∠FCN的大小總保持不變，tan∠FCN＝．