Question

【題目】如圖，拋物線C1：y＝mx2﹣2mx﹣3m(m＜0)與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點D，頂點為M，另一條拋物線C2與x軸也交于A、B兩點，且與y軸的交點是C(0，)，頂點是N．

(1)求A，B兩點的坐標．

(2)求拋物線C2的函數表達式．

(3)是否存在m，使得△OBD與△OBC相似？若存在，請求出m的值；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0）；（2）y＝．（3）m的值為﹣或﹣2．

【解析】

（1）解方程mx2﹣2mx﹣3m＝0可得到A，B兩點的坐標；

（2）設交點式y＝a（x+1）（x﹣3），然后把C點坐標代入求出a得到拋物線C2的表達式；

（3）分兩種情況考慮：當△OBD∽△OBC或△ODB∽△OBC時，求出OD長，得到m的值．

（1）當y＝0時，mx2﹣2mx﹣3m＝0，

∵x2﹣2x﹣3＝0，

∴x1＝﹣1，x2＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）設拋物線C2的表達式為y＝a（x+1）（x﹣3），

把C（0，﹣）代入，得a×1×（-3）=-，

解得a＝，

∴拋物線C2的函數表達式為y＝（x+1）(x-3)，

即y＝x2-x-．

（3）當△OBD∽△OBC時，= ，

∴OC＝OD，

∴D（0，）．

∴ -3m=，

∴m＝﹣，

當△ODB∽△OBC時，

=，

∴OD=9，

∴OD＝6，

∴D（0，6），

∴﹣3m＝6，

∴m＝﹣2，

綜合以上可得m的值為﹣或﹣2．