Question

【題目】如圖，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC，使點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)E處．
（1）求AD的長(zhǎng)；
（2）一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿EC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CO以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似？

Answer 1

【答案】
（1）解：由折疊可得，CE=CB=AO=10，而CO=AB=8，

∴OE=6，

∴AE=10﹣6=4，

設(shè)AD=x，則DB=DE=8﹣x，

Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2，

∴x2+42=（8﹣x）2，

解得x=3，

∴AD=3；

（2）解：∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，

∴∠DEA=∠OCE，

由（1）可得，AD=3，AE=4，DE=5，

∵CQ=t，EP=2t，

∴PC=10﹣2t，

① 當(dāng)∠PQC=∠DAE=90°時(shí)，△ADE∽△QPC，

∴ = ，即 = ，

解得t= ；

②當(dāng)∠QPC=∠DAE=90°時(shí)，△ADE∽△PQC，

∴ = ，即 = ，

解得t= ，

綜上所述，當(dāng)t= 或 時(shí)，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似．

【解析】（1）先設(shè)AD=x，則DB=DE=8﹣x，在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理可得AD2+AE2=DE2 ， 據(jù)此列出方程x2+42=（8﹣x）2 ， 求得x=3，進(jìn)而得到AD=3；（2）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)∠PQC=∠DAE=90°時(shí)，△ADE∽△QPC，②當(dāng)∠QPC=∠DAE=90°時(shí)，△ADE∽△PQC，分別根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出關(guān)于t的方程，求得t的值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的矩形的性質(zhì)和翻折變換（折疊問(wèn)題），需要了解矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等；折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和角相等才能得出正確答案．