Question

【題目】如圖，把矩形紙片ABCD置于直角坐標系中，AB∥x軸，BC∥y軸，AB=4，BC=3，點B（5，1）翻折矩形紙片使點A落在對角線DB上的H處得折痕DG．

（1）求AG的長；
（2）在坐標平面內存在點M（m，﹣1）使AM+CM最小，求出這個最小值；
（3）求線段GH所在直線的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由折疊的性質可得，AG=GH，AD=DH，GH⊥BD，

∵AB=4，BC=3，

∴BD= =5，

設AG的長度為x，

∴BG=4﹣x，HB=5﹣3=2，

在Rt△BHG中，GH2+HB2=BG2，

x2+4=（4﹣x）2，

解得：x=1.5，

即AG的長度為1.5

（2）

解：如圖所示：作點A關于直線y=﹣1的對稱點A'，連接CA'與y=﹣1交于M點，

∵點B（5，1），

∴A（1，1），C（5，4），A'（1，﹣3），

AM+CM=A'C= = ，

即AM+CM的最小值為

（3）

解：∵點A（1，1），

∴G（2.5，1），

過點H作HE⊥AD于點E，HF⊥AB于點F，如圖所示，

∴△AEH∽△DAB，△HFB∽△DAB，

∴ = ， = ，

即 = ， = ，

解得：EH= ，HF= ，

則點H（ ， ），

設GH所在直線的解析式為y=kx+b，

則 ，

解得： ，

則解析式為：y= x﹣ ．

【解析】（1）根據折疊的性質可得AG=GH，設AG的長度為x，在Rt△HGB中，利用勾股定理求出x的值；（2）作點A關于直線y=﹣1的對稱點A'，連接CA'與y=﹣1交于一點，這個就是所求的點，求出此時AM+CM的值；（3）求出G、H的坐標，然后設出解析式，代入求解即可得出解析式．