Question

【題目】如圖，直角坐標系xOy中，一次函數y＝﹣x+4的圖象l1分別與x，y軸交于A，B兩點，正比例函數的圖象l2與l1交于點C（m，3），過動點M（n，0）作x軸的垂線與直線l1和l2分別交于P、Q兩點．

（1）求m的值及l2的函數表達式；

（2）當PQ≤4時，求n的取值范圍；

（3）是否存在點P，使S△OPC＝2S△OBC？若存在，求出此時點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=2，l2的解析式為y＝x；（2）0≤n≤4；（3）存在，點P的坐標(6，1)或(-2，5)．

【解析】

（1）根據待定系數法，即可求解；

（2）由l2與l1的函數解析式，可設P(n，﹣n+4)，Q(n，n)，結合PQ≤4，列出關于n的不等式，進而即可求解；

（3）設P(n，﹣n+4)，分兩種情況：①當點P在第一象限時，②當點P在第二象限時，分別列關于n的一元一次方程，即可求解．

（1）把C(m，3)代入一次函數y＝﹣x+4，可得：3＝﹣m+4，解得：m＝2，

∴C(2，3)，

設l2的解析式為y＝ax，則3＝2a，解得a＝，

∴l2的解析式為：y＝x；

（2）∵PQ∥y軸，點M(n，0)，

∴P(n，﹣n+4)，Q(n，n)，

∵PQ≤4，

∴|n+n﹣4|≤4，解得：0≤n≤4，

∴n的取值范圍為：0≤n≤4；

（3）存在，理由如下：

設P(n，﹣n+4)，

∵S△OBC=×4×2=4，S△OPC＝2S△OBC，

∴S△OPC=8，

①當點P在第一象限時，

∴S△OBP=4+8=12，

∴×4n＝12，

解得：n＝6，

∴點P的坐標(6，1)，

②當點P在第二象限時，

∴S△OBP=8-4=4，

∴×4(-n)＝4，解得：n＝-2，

∴點P的坐標(-2，5)．

綜上所述：點P的坐標(6，1)或(-2，5)．