Question

如圖，P是雙曲線的一個分支上的一點，以點P為圓心，1個單位長度為半徑作⊙P，設點P的坐標為（x，y）．
（1）求當x為何值時，⊙P與直線y=3相切，并求點P的坐標．
（2）直接寫出當x為何值時，⊙P與直線y=3相交、相離．

Answer 1

解：（1）設點P的坐標為（x，y），
∵P是雙曲線的一個分支上的一點，
∴xy=k=4，
∵⊙P與直線y=3相切，
∴p點縱坐標為：2，
∴p點橫坐標為：2，
∵⊙P′與直線y=3相切，
∴p點縱坐標為：4，
∴p點橫坐標為：1，
∴x=1或2，
P的坐標（1，4）或（2，2）；

（2）結合圖象，即可得出：
當1＜x＜2時，⊙P與直線y=3相交，
當x＞2或0＜x＜1時，⊙P與直線y=3相離．
分析：（1）利用切線的性質以及反比例函數的性質即可得出，P點的坐標應該有兩個求出即可；
（2）利用函數圖象進而得出符合要求的答案．
點評：此題主要考查了反比例函數的性質以及切線的性質和直線與圓的位置關系，利用數形結合解決問題是解題關鍵．