Question

閱讀下列材料：
任意給定一個矩形ABCD，如果存在另一個矩形A'B'C'D'，使它的周長和面積分別是矩形ABCD周長和面積的k倍（k≥2，且k是整數）．那么我們把矩形A'B'C'D'叫做矩形ABCD的k倍矩形．
例如：矩形ABCD的長和寬分別為3和1，它的周長和面積分別為8和3；矩形A'B'C'D'的長和寬分別為4+

10

和4-

10

，它的周長和面積分別為16和6，這時，矩形A'B'C'D'的周長和面積分別是矩形ABCD周長和面積的2倍，則矩形A'B'C'D'叫做矩形ABCD的2倍矩形．
解答下列問題：
（1）填空：一個矩形的周長和面積分別為10和6，則它的2倍矩形的周長為

 

，面積為

 

．
（2）已知矩形ABCD的長和寬分別為2和1，那么是否存在它的k倍矩形A'B'C'D'，且A'B'：AB=B'C'：BC？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據k倍矩形的定義直接進行解答即可；
（2）根據k倍矩形的定義得出A'B'：B'C'=AB：BC=2：1，再根據2（A'B'+B'C'）=k•2（AB+BC），求出k的值，由k的值進行解答即可．

解答：解：（1）∵這個矩形的周長和面積分別為10和6，
它的2倍矩形的周長=10×2=20；2倍矩形的面積=6×2=12；

（2）解：不存在．若存在，
∵A'B'：AB=B'C'：BC，
∴A'B'：B'C'=AB：BC=2：1（設AB是長邊）．
又∵2（A'B'+B'C'）=k•2（AB+BC），
∴B'C'=k，A'B'=2k．
∴k×2k=k×2，
∴k²=k，
∴k=0或1．
∵k≥2，
∴不存在滿足條件的k．

點評：本題考查的是k倍矩形的定義，屬新定義型題目，比較簡單．