Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分線AE交CD于E，連結BE，且BE也平分∠ABC，則以下的命題中正確的個數是（    ）

①BC+AD=AB            ②Ｅ為CD中點
③∠AEB=90°           ④S_△ABE=S_{四邊形ABCD}

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

D

在AB上截取AF=AD．證明△AED≌△AEF，△BEC≌△BEF．可證4個結論都正確．
解：

在AB上截取AF=AD．
則△AED≌△AEF（SAS）．
∴∠AFE=∠D．
∵AD∥BC，∴∠D+∠C=180°．
∴∠C=∠BFE．
∴△BEC≌△BEF（AAS）．
∴①BC=BF，故AB=BC+AD；
②CE=EF=ED，即E是CD中點；
③∠AEB=∠AEF+∠BEF=∠DEF+∠CEF=×180°=90°；
④S_△AEF=S_△AED，S_△BEF=S_△BEC，
∴S_△AEB=S_{四邊形BCEF}+S_{四邊形EFAD}=S_{四邊形ABCD}．
故選D．
此題考查全等三角形的判定與性質，運用了截取法構造全等三角形解決問題，難度中等．