Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點，CE⊥AB，垂足為E，AF⊥BC，垂足為F，AF與CE相交于點G．

（1）證明：△CFG≌△AEG．

（2）若AB=4，求四邊形AGCD的對角線GD的長．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）根據線段垂直平分線的性質得到AB=AC，AC=BC，得到AB=AC=BC，求得∠B=60°，于是得到∠BAF=∠BCE=30°，根據全等三角形的判定定理即可得到結論；

（2）根據菱形的判斷對了得到ABCD是菱形，求得∠ADC=∠B=60°，AD=CD，求得∠ADG=30°，解直角三角形即可得到結論．

試題解析：（1）證明：∵E、F分別是AB、BC的中點，CE⊥AB，AF⊥BC，∴AB=AC，AC=BC，∴AB=AC=BC，∴∠B=60°，∴∠BAF=∠BCE=30°．∵E、F分別是AB、BC的中點，∴AE=CF．在△CFG≌△AEG中， ，∴△CFG≌△AEG；

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BC，∴ABCD是菱形，∴∠ADC=∠B=60°，AD=CD．∵AD∥BC，CD∥AB，∴AF⊥AD，CE⊥CD．∵△CFG≌△AEG，∴AG=CG．∵GA⊥AD，GC⊥CD，GA=GC，∴GD平分∠ADC，∴∠ADG=30°．∵AD=AB=4，∴DG==．