Question

27、已知如圖1，點(diǎn)P是正方形ABCD的BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，AP交對(duì)角線BD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥AP于G點(diǎn)，交對(duì)角線AC于F，交邊CD于Q點(diǎn)．
（1）小聰在研究圖形時(shí)發(fā)現(xiàn)圖中除等腰直角三角形外，還有幾對(duì)三角形全等．請(qǐng)你寫出其中三對(duì)全等三角形，并選擇其中一對(duì)全等三角形證明；
（2）小明在研究過(guò)程中連接PE，提出猜想：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在∠APB=∠CPF？若存在，點(diǎn)P應(yīng)滿足何條件并說(shuō)明理由；若不存在，為什么？

Answer 1

分析：（1）三角形ABP和三角形ACQ，根據(jù)∠QBC和∠BAP都是∠BPG的余角，因此∠BAMP=∠QBC，AB=BC，由此可得出三角形ABP和三角形BCQ，三角形ABE和三角形BFC，因?yàn)锳B=BC，∠BAMP=∠QBC，∠ABE=∠BCF=45°，因此兩三角形全等
三角形BPE和CEQ全等，根據(jù)第一對(duì)全等的三角形可得出BP=CQ，根據(jù)第二對(duì)全等的三角形可得出BE=CF，又知道∠EBP=∠ECQ=45°，根據(jù)SAS即可判定兩三角形全等；
（2）（1）中已經(jīng)得出了BE=CF，而∠EBP=∠FCP=45°，如果∠EPB=∠CPF，那么三角形BEP和CFP就全等，那么BP=PC，因此要使∠APB=∠CPF，那么P就應(yīng)該是BC的中點(diǎn)．

解答：解：（1）△ABP≌△BCQ，△ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF，△BEP≌△CFQ，△ACP≌△BDQ；（從中任寫出三對(duì)全等三角形）
如證明△ABP≌△BCQ，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCQ=90°，
∵BQ⊥AP，
∴∠BAP=∠CBQ，
∴△ABP≌△BCQ；

（2）當(dāng)點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，∠AFB=∠CFP．
∵BP=CP，BP=CQ，
∴CP=CQ，
∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∵CF=CF，
∴△CFP≌△CFQ，
∴∠CPF=∠CQF，
∵∠CQF=∠APB，
∴∠APB=∠CPF．

點(diǎn)評(píng)：開放性試題，解答本題要充分里利用正方形的特殊性質(zhì)，同時(shí)考查了全等三角形的判定和性質(zhì)．