Question

在邊長為2的正方形ABCD的四邊上分別取點E、F、G、H、四邊形EFGH四邊的平方和EF²+FG²+GH²+HE²最小時其面積為          .

Answer 1

2

試題分析：利用勾股定理列出四邊形EFGH四邊的關系，利用配方法求得E、F、G、H為正方形ABCD四邊的中點，從而問題得解．
在正方形ABCD中，
∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
AB=BC=CD=DA=2；
∴EF²+FG²+GH²+HE²=BE²+BF²+CF²+CG²+GD²+DH²+AH²+AE²，
=BE²+BF²+（2-BF）²+CG²+（2-CG）²+DH²+（2-DH）²+（2-BE）²，
=2（BE-1）²+2（BF-1）²+2（CG-1）²+2（DH-1）²+8≥8，
當EF²+FG²+GH²+HE²最小為8時，可得，
AE=BE=BF=CF=CG=DG=DH=AH，
即E、F、G、H為正方形ABCD四邊的中點，
由此得出四邊形EFGH為正方形，其面積為EF²=BF²+BE²=2．
點評：解題的關鍵是熟練掌握正方形的四條邊相等，四個角都是直角.