Question

如圖，已知：∠MAN=60°，AP平分∠MAN，且AP=4．請探究：
（1）如圖＜1＞，若以AP為直徑作⊙O，分別交AM、AN于B、C，求AB+AC的長；
（2）如圖＜2＞，若以AP為弦（不是直徑），任作⊙O₁分別交AM、AN于B₁、C₁點，則AB₁+AC₁的長是否不變？請說明理由；
（3）如圖＜3＞，若以AP為弦（不是直徑）作⊙O₂與AM切于A點，交AN于C₂點，則AC₂的長是多少？請說明理由．

Answer 1

解：（1）連接PB、PC．
∵AP為ΘO的直徑，
∴∠ABP=∠ACP=90°，
∵AP平分∠MAN，
∴∠BAP=30°，
∴AB=AC=APcos30°=4×，
∴AB+AC=4；

（2）AB₁+AC₁的長度不變．
理由：連接PB₁、PB，PC，PC₁，
在△PBB₁和△PCC₁中，
∵∠B₁AP=∠C₁AP=30°，
∴，
∴PB₁=PC₁，
∵∠ABP=∠C₁CP=90°，
∴PB=PC，
∴Rt△PBB₁≌Rt△PCC₁，
∴B₁B=C₁C，
∴AB₁+AC₁=AB-B₁B+AC+C₁C=AB+AC=4，

（3）連接AO₂并延長交ΘO₂于D，連接PD、PC₂，
∴∠APD=90°則∠D+∠PAD=90°，
∵ΘO₂與AM切于A點，
∴∠PAD+∠BAP=90°，
∵∠D=∠BAP=∠CAP=30°，
∵∠D=∠AC₂P，
∴∠AC₂P=∠CAP，
∴△APC₂為等腰三角形，
∵∠ACP=90°，即PC⊥AC₂，
∴AC=CC₂=2，
∴AC₂=AC+CC₂=4．
分析：（1）根據∠MAN=60°，AP平分∠MAN，即可得出∠BAP=30°，再利用AB=AC=APcos30°求出即可；
（2）首先利用HL定理證明Rt△PBB₁≌Rt△PCC₁，即可得出B₁B=C₁C，進而得出AB₁+AC₁=AB-B₁B+AC+C₁C=AB+AC=4，
（3）先得出△APC₂為等腰三角形，即可求出∠ACP=90°，即PC⊥AC₂，進而得到AC=CC₂=2，即可得出答案．
點評：此題主要考查了切線的性質以及全等三角形的判定與解直角三角形等知識，根據題意得出Rt△PBB₁≌RtPCC₁與△APC₂為等腰三角形是解題關鍵．