Question

如圖，已知：∠MAN=60°，AP平分∠MAN，且AP=4，請探究：
（1）如圖＜1＞，若以AP為直徑作⊙O，分別交AM、AN于B、C，求AB+AC的長；
（2）如圖＜2＞，若以AP為弦（不是直徑），任作⊙O₁分別交AM、AN于B₁、C₁點，則AB₁+AC₁的長是否不變？請說明理由；
（3）如圖＜3＞，若以AP為弦（不是直徑）作⊙O₂與AM切于A點，交AN于C₂點，則AC₂的長是多少？請說明理由。

Answer 1

解：（1）連接PB、PC， ∵AP為ΘO的直徑， ∴∠ABP=∠ACP=90°， ∵AP平分∠MAN， ∴∠BAP=30°， ∴AB=AC=APcos30°=， ∴AB+AC=4；
（2）AB1+AC1的長度不變， 理由：連接PB1、PC1， 在△PBB1和△PCC1中， ∵∠B1AP=∠C1AP=30°， ∴， ∴PB1=PC1， ∵∠ABP=∠C1CP=90°， ∴PB=PC， ∴Rt△PBB1≌RtPCC1， ∴B1B=C1C， ∴AB1+AC1=AB-B1B+AC+C1C=AB+AC=4；
（3）連接AO2并延長交ΘO2于D，連接PD、PC2， ∴∠APD=90°， 則∠D+∠PAD=90°， ∵ΘO2與AM切于A點， ∴∠PAD+∠BAP=90° =4， ∵∠D=∠BAP=∠CAP=30°， ∵∠D=∠AC2P， ∴∠AC2P=∠CAP， ∴△APC2為等腰三角形， ∵∠ACP=90°，即PC⊥AC2， ∴AC=CC2=， ∴AC2=AC+CC2=。