Question

【題目】（1）如圖1，已知正方形ABCD，點M和N分別是邊BC，CD上的點，且BM=CN，連接AM和BN，交于點P．猜想AM與BN的位置關系，并證明你的結論；

（2）如圖2，將圖（1）中的△APB繞著點B逆時針旋轉90，得到△A′P′B，延長A′P′交AP于點E，試判斷四邊形BPEP′的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AM⊥BN，證明見解析；（2）四邊形BPEP′是正方形，理由見解析.

【解析】

（1）易證△ABM≌△BCN，再根據角度的關系得到∠APB=90°，即可得到AM⊥BN；

（2）根據旋轉的性質及（1）得到四邊形BPEP′是矩形，再根據BP= BP′,得到四邊形BPEP′是正方形.

（1）AM⊥BN

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90°

∵BM=CN，

∴△ABM≌△BCN

∴∠BAM=∠CBN

∵∠CBN+∠ABN=90°，

∴∠ABN+∠BAM=90°，

∴∠APB=90°

∴AM⊥BN．

（2）四邊形BPEP′是正方形.

△A′P′B是△APB繞著點B逆時針旋轉90所得，

∴BP= BP′,∠P′BP=90.

又由（1）結論可知∠APB=∠A′P′B=90°，

∴∠BP′E=90°.

所以四邊形BPEP′是矩形.

又因為BP= BP′,所以四邊形BPEP′是正方形.