Question

如圖，拋物線y=x²+mx+n過(guò)原點(diǎn)O，與x軸交于A，點(diǎn)D（4，2）在該拋物線上，過(guò)點(diǎn)D作CD∥x軸，交拋物線于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)B，連接CO、AD．
（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；
（2）將△BCO繞點(diǎn)O按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后 再沿x軸對(duì)折得到△OEF（點(diǎn)C與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)），判斷點(diǎn)E是否落在拋物線上，并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)E的直線交OA于點(diǎn)P，交CD邊于點(diǎn)Q．問(wèn)是否存在點(diǎn)P，使直線PQ分梯形AOCD的面積為1：3兩部分？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）依題意，得，解得，
所以，拋物線解析式為y=x²-x，把y=2代入，得x₁=4，x₂=-1，
所以，C（-1，2）；

（2）點(diǎn)E落在拋物線上．理由如下：
∵BC=1，OB=2，∠OBC=90°，
由旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱的性質(zhì)知：EF=1，OF=2，∠OFE=90°，
∴點(diǎn)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-1），
當(dāng)x=2時(shí)，，∴點(diǎn)E落在拋物線上；

（3）存在點(diǎn)P（a，0）．如圖記S_梯形CQPO=S₁，S_梯形ADQP=S₂，
S_梯形AOCD=（AO+CD）×2=3+5=8，
當(dāng)PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（2，0）時(shí)，易求S₁=5，S₂=3，此時(shí)S₁：S₂不符合條件，故a≠3．
設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b（k≠0），將E（2，-1），P（a，0）代入，
得，解得，
∴y=x-，
由y=2得x=3a-4，∴Q（3a-4，2）
∴CQ=（3a-4）-（-1）=3a-3，PO=a，
S₁=（3a-3+a）×2=4a-3，
下面分兩種情形：①當(dāng)S₁：S₂=1：3時(shí)，S₁=S_梯形AOCD=×8=2；
∴4a-3=2，解得a=；
②當(dāng)S₁：S₂=3：1時(shí)，S₁=S_梯形AOCD=×8=6；
∴4a-3=6，解得a=；
綜上所述：所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，0）．
分析：（1）將O（0，0），D（4，2）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=x²+mx+n，列方程組求m、n的值，確定拋物線解析式，由CD∥x軸，將y=2代入拋物線解析式，可求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱的性質(zhì)，求EF，OF，確定E點(diǎn)坐標(biāo)，把E點(diǎn)橫坐標(biāo)代入拋物線解析式求y的值，判斷E點(diǎn)中拋物線上；
（3）設(shè)P（a，0），S_梯形CQPO=S₁，S_梯形ADQP=S₂，根據(jù)直線PQ分梯形AOCD的面積為1：3兩部分，分兩種情況：①S₁：S₂=1：3，②S₁：S₂=3：1，根據(jù)S₁與的S_梯形AOCD關(guān)系，列方程求a的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)題意求拋物線解析式，確定A、B、C、D的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定E點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)求直線PQ解析式確定Q點(diǎn)坐標(biāo)，從而表示直線PQ分得兩部分的面積，利用列方程的方法求解．