Question

已知如圖，拋物線y=x²+（k²+1）x+k+1的對稱軸是直線x=-1，且頂點在x軸上方．設M是直線x=-1左側拋物線上的一動點，過點M作x軸的垂線MG，垂足為G，過點M作直線x=-1的垂線MN，垂足為N，直線x=-1與x軸的交于H點，若M點的橫坐標為x，矩形MNHG的周長為l．
（1）求出k的值；
（2）寫出l關于x的函數解析式；
（3）是否存在點M，使矩形MNHG的周長最小？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據對稱軸公式得到關于k的方程，解方程即可求解；
（2）先用x表示出M點的坐標，根據兩點之間的距離公式得到MG，GH；再根據矩形的周長公式即可得到l關于x的函數解析式；
（3）先將l關于x的函數解析式配方，得到x的值，代入拋物線解析式即可得到使矩形MNHG的周長最小時點M的坐標．

解答：解：（1）對稱軸：x=-

b

2a

=-

k2+1

2

=-1，
則k²+1=2，
解得k=±1，
∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，
∴k+1＞0，
則k=1；

（2）由（1）得拋物線解析式為：y=x²+2x+2
∵M點的橫坐標為x，M點在拋物線上，
∴M點的縱坐標為x²+2x+2，
MG=x²+2x+2，
又∵對稱軸是直線x=-1
∴GH=|x|-|-1|
由題知，M是直線x=-1左側，
∴GH=-x-1，
∴矩形MNHG的周長為l=2（GH+MG）=2（-x-1+x²+2x+2）=2（x²+x+1）；

（3）矩形MNHG的周長為l=2（x²+x+

1

4

-

1

4

+1）=2[（x+

1

2

）²+

3

4

]=2（x+

1

2

）²+

3

2

，
當x=-

1

2

時，矩形MNHG的周長為l有最小值

3

2

，此時點M的坐標為（-

1

2

，（-

1

2

）²+2×（-

1

2

）+2），即（-

1

2

，1

1

4

）．

點評：本題考查的是二次函數的綜合題，涉及的知識點有：拋物線的對稱軸公式，兩點之間的距離公式，矩形的周長公式，配方法求最值問題，綜合性較強，難度中等．