Question

【題目】如圖，把Rt△ABC繞頂點C順時針旋轉90°得到Rt△DFC，若直線DF垂直平分AB，垂足為點E，連接BF，CE，且BC=2．下面四個結論：

①BF=；

②∠CBF=45°；

③∠CED=30°；

④△ECD的面積為，

其中正確的結論有_____．(填番號)

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

利用旋轉的性質得CF＝CB＝2，∠BCF＝90°，則可得△CBF為等腰直角三角形，于是可對①②進行判斷；由于直線DF垂直平分AB，則FA＝FB，BE＝AE，于是根據等腰三角形的性質和三角形外角性質可計算出∠ECA＝∠A＝22.5°，然后根據三角形內角和可計算出∠CEF，從而可對③進行判斷；作EH⊥BD于H，如圖，根據三角形中位線性質得EH＝AC＝+1，利用旋轉性質得CD＝CA＝2+2，則利用三角形面積公式可計算出△ECD的面積，從而可對④進行判斷．

∵把Rt△ABC繞頂點C順時針旋轉90°得到Rt△DFC，

∴CF＝CB＝2，∠BCF＝90°，

∴△CBF為等腰直角三角形，

∴BF＝BC＝2，∠CBF＝45°，所以①②正確；

∵直線DF垂直平分AB，

∴FA＝FB，BE＝AE，

∴∠A＝∠ABF，

而∠BFC＝∠A+∠ABF＝45°，

∴∠A＝22.5°，

∵CE為斜邊AB上的中線，

∴EC＝EA，

∴∠ECA＝∠A＝22.5°，

∴∠CEF＝180°﹣90°﹣2×22.5°＝45°，所以③錯誤；

作EH⊥BD于H，如圖，

∵把Rt△ABC繞頂點C順時針旋轉90°得到Rt△DFC，

∴CD＝CA＝2+2，

∵點E為AB的中點，

∴EH＝AC＝+1，

∴△ECD的面積＝（+1）（2+2）＝2+3，所以④正確．

故答案為：①②④．