Question

點P是x軸正半軸上的一個動點.過點 P作x軸的垂線PA 交雙曲線y=于點A，連接 OA.   

(1)如圖(1)，當點P在x軸的正半軸上運動時，Rt△AOP的面積大小是否變化？若不變.    請求出 Rt△AOP的面積；若改變，試說明理由.    
(2)如圖(2)，在x軸上的點P 的右側有一點D，過點 D作x軸的垂線交雙曲線y=-于點B，連接BO， 交AP于點C. 設△AOP的面積為 S₁, 梯形BCPD的面積為 S₂，則S₁ 與S₂的大小關系是
S₁（    ）S₂.(選填“>”，“<“=”)
(3)如圖(3)，AO的延長線與雙曲線y=的另一個交點是點F，FH⊥x軸.垂足為 H，連接AH，PF， 試證明四邊形APFH的面積為一常數.

Answer 1

解：(1)S_Rt△AOP=OP·AP，設P點坐標為 (x，y)，則y=，即xy=1，
∴S_△AOP =xy=.
故當 P在x軸的正半軸上運動時，Rt△AOP的面積不變，總等于.
(2)由(1)知=，而＜，∴
(3)因為A、F兩點關于原點O對稱，FH軸，易知OP=OH，所以四邊形 APFH 是平行四邊形，其面積為的 4倍，即為己故四邊形APFH 的面積為一常數.