Question

已知點P是x軸正半軸的一個動點，過點P作x軸的垂線PA交雙曲線y=

1

x

于點A，連接OA．

（1）如圖甲，當點P在x軸的正方向上運動時，Rt△AOP的面積大小是否變化答：

 

（請填“變化”或“不變化”）
若不變，請求出Rt△AOP的面積=

 

；若改變，試說明理由（自行思索，不必作答）；
（2）如圖乙，在x軸上的點P的右側有一點D，過點D作x軸的垂線交雙曲線于點B，連接BO交AP于C，設△AOP的面積是S₁，梯形BCPD的面積為S₂，則S₁與S₂的大小關系是S₁

 

S₂（請填“＞”、“＜”或“=”）．

Answer 1

分析：（1）根據過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個定值，S=

1

2

|k|，故Rt△AOP的面積．
（2）根據（1）中規律可知S_△AOP=S_△BOD，所以可求S_梯形BCPD＜S_△BOD．

解答：解：（1）由于點A位于反比例函數的圖象上，所以S_△AOP=

1

2

|k|=

1

2

．
故當點P在x軸的正方向上運動時，Rt△AOP的面積不變，值總等于

1

2

．

（2）由（1）知S_△AOP=S_△BOD，
而S_梯形BCPD＜S_△BOD，
所以S₁＞S₂．

點評：主要考查了反比例函數y=

k

x

中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經常考查的一個知識點；這里體現了數形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關系即S=

1

2

|k|．