Question

【題目】聯想三角形外心的概念，我們可引入如下概念。

定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心。

舉例：如圖1，若PA=PB，則點P為△ABC的準外心。

應用：如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，準外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度數。

探究：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，準外心P在AC邊上，試探究PA的長。

Answer 1

【答案】∠APB=90°，PA=2或

【解析】解：應用：①若PB=PC，連接PB，

則∠PCB=∠PBC，

∵CD為等邊三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°。

∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB。

與已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC。

②若PA=PC，連接PA，同理可得PA≠PC。

③若PA=PB，由PD=AB，得PD=AD =BD，∴∠APD=∠BPD=45°。∴∠APB=90°。

探究：∵BC=5，AB=3，∴AC=。

①若PB=PC，設PA=，則，∴，即PA=。

②若PA=PC，則PA=2。

③若PA=PB，由圖知，

在Rt△PAB中，不可能。

∴PA=2或。

應用：連接PA、PB，根據準外心的定義，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三種情況利用等邊三角形的性質求出PD與AB的關系，然后判斷出只有情況③是合適的，再根據等腰直角三角形的性質求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度數。

探究：先根據勾股定理求出AC的長度，根據準外心的定義，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三種情況，根據三角形的性質計算即可得解