Question

【題目】如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，分別延長OA，OC到點E，F，使AE=CF，依次連接B，F，D，E各點．

（1）求證：△BAE≌△BCF；

（2）若∠ABC=40°，則當∠EBA=　 時，四邊形BFDE是正方形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）25.

【解析】分析：（1）由菱形的性質得出AB=CB，由等腰三角形的性質得出∠BAC=∠BCA，證出∠BAE=∠BCF，由SAS證明△BAE≌△BCF即可；（2）由菱形的性質得出AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，∠ABO=∠ABC=20°，證出OE=OF，得出四邊形BFDE是菱形，證明△OBE是等腰直角三角形，得出OB=OE，BD=EF，證出四邊形BFDE是矩形，即可得出結論．

本題解析：

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=CB，

∴∠BAC=∠BCA，

∴180°﹣∠BAC=180°﹣∠BCA，

即∠BAE=∠BCF，

在△BAE和△BCF中， ，

∴△BAE≌△BCF（SAS）；

（2）解：若∠ABC=40°，則當∠EBA=25°時，四邊形BFDE是正方形．理由如下：

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，∠ABO=∠ABC=20°，

∵AE=CF，

∴OE=OF，

∴四邊形BFDE是平行四邊形，

又∵AC⊥BD，∴四邊形BFDE是菱形，

∵∠EBA=25°，

∴∠OBE=25°+20°=45°，

∴△OBE是等腰直角三角形，

∴OB=OE，

∴BD=EF，

∴四邊形BFDE是矩形，

∴四邊形BFDE是正方形；

故答案為：25．