Question

如圖，將等邊三角形PQR放在正方形ABCD上，邊QR與AB完全重合．則：
（1）圖①中點P與正方形中的任意兩個頂點能構成多少個等腰三角形（等邊△PQR除外）？直接寫出這些三角形的名稱

 

．
（2）現在將正方形ABCD固定不動，等邊三角形PQR繞著點R旋轉，使點P與C重合（如圖②，這算第1步，點P落在P₁處），再繞著點P旋轉，使點Q與點D重合（如圖③，這算第2步，點P落在P₂處），重復這樣的步驟，可得到圖④…，則請你探究：經過

 

步，△PQR首次與原位置重合；又經過

 

步，點P首次回到原處．

（3）若正方形ABCD的邊長等于4，則按第（2）題的方法從圖①開始，連續旋轉了2006步，最后點P落在P₂₀₀₆處．請畫出此時圖形的位置，并計算此時點P₂₀₀₆到RA的距離．

Answer 1

分析：（1）根據等腰三角形的性質，兩條邊相等的三角形為等腰三角形，從而可以得出△PAD，△PCD，△PBC為等腰三角形；
（2）從圖中的例子找出規律，即經過4步三角形回到原處，但是對應頂點變換一次，可知共有三個頂點，當經過12次時，對應頂點回到原處；
（3）因為點P每過12步回到原位置，可以通過（2）中規律知道經過2006步點P所在的位置，從而根據三角函數可以得出P₂₀₀₆到RA的距離．

解答：解：（1）根據等腰三角形的性質△PAD，△PCD，△PBC為等腰三角形
∵PA=AD，∴△PAD為等腰三角形；
∵PB=BC，∴△PBC為等腰三角形；
∵△PAD≌△PBC，∴PD=PC，
∴△PCD為等腰三角形．

（2）從圖中可以得到以下規律，經過4步三角形回到原處，但是對應頂點變換一次，可知共有三個頂點，當經過12次時，對應頂點回到原處；

（3）從第（2）問中的規律可以知道第2006步時，點P應該在如圖所示的位置，與點C重合
作CE垂直于AR，從正方形ABCD和等邊三角形PQR的性質可以得出
∠ADR=90°+60°=150°，
∵AD=DR∴∠ARD=15°，
∴∠ECR=60°-15°=45°，
∵CE⊥AR，CR=AB=4，
∴在等腰直角△CER中應用勾股定理
CE=2

2

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點評：了解等腰三角形的判定定理，根據題中所給的圖形找出規律是做題的關鍵．