Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其中點B的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，8），且拋物線的對稱軸是直線x=﹣2．

（1）求此拋物線的表達式；

（2）連接AC，BC，若點E是線段AB上的一個動點（與點A，B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE，設AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數關系式；

（3）在（2）的基礎上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并判斷S取得最大值時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+8；（2）﹣m2+4m，（3）△BCE為等腰三角形．理由見解析.

【解析】

(1) 先解一元二次方程, 得到線段0B、 OC的長, 也就得到了點B、 C兩點坐標, 根據拋物線的對稱性可得點A坐標，把A、 B、 C三點代入二次函數解析式就能求得二次函數解析式;

(2)易得=-,只需利用平行得到三角形相似, 求得EF長, 進而利用相等角的正弦值求得ΔBEF中BE邊上的高;

(3) 利用二次函數求出最值, 進而求得點E坐標. OC垂直平分BE, 那么EC=BC, 所求的三角形是等腰三角形.

（1）∵點B的坐標為（2，0），拋物線的對稱軸是直線x=﹣2，

∴由拋物線的對稱性可得點A的坐標為（﹣6，0），

∵點C（0，8）在拋物線y=ax2+bx+c的圖象上，

∴c=8，將A（﹣6，0）、B（2，0）代入表達式，得，

解得，

∴所求拋物線的表達式為y=﹣x2﹣x+8；

（2）依題意，AE=m，則BE=8﹣m，

∵OA=6，OC=8，

∴AC=10，

∵EF∥AC，

∴△BEF∽△BAC，

∴=　　即=，

∴EF=，

過點F作FG⊥AB，垂足為G，

則sin∠FEG=sin∠CAB=

∴=

∴FG==8﹣m，

∴S=S△BCE﹣S△BFE=（8﹣m）×8﹣（8﹣m）（8﹣m）=（8﹣m）（8﹣8+m）=（8﹣m）m=﹣m2+4m，

（3）由S=﹣m2+4m=﹣（m﹣4）2+8可知，S存在最大值，

當m=4時，S最大值=8，

∵m=4，

∴AE=4，

∵OA=6，

∴OE=2，

∴點E的坐標為（﹣2，0），

∵B（2，0），C（0，8），

∴△BCE為等腰三角形．