Question

（2012•寧波）如圖，在△ABC中，BE是它的角平分線，∠C=90°，D在AB邊上，以DB為直徑的半圓O經過點E，交BC于點F．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）已知sinA=

1

2

，⊙O的半徑為4，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OE．根據OB=OE得到∠OBE=∠OEB，然后再根據BE是△ABC的角平分線得到∠OEB=∠EBC，從而判定OE∥BC，最后根據∠C=90°得到∠AEO=∠C=90°證得結論AC是⊙O的切線．
（2）連接OF，利用S_陰影部分=S_梯形OECF-S_扇形EOF求解即可．

解答：解：（1）連接OE．
∵OB=OE
∴∠OBE=∠OEB                                       
∵BE是△ABC的角平分線
∴∠OBE=∠EBC
∴∠OEB=∠EBC
∴OE∥BC                                             
∵∠C=90°
∴∠AEO=∠C=90°                                      
∴AC是⊙O的切線；
                              
（2）連接OF．
∵sinA=

1

2

，∴∠A=30°                               
∵⊙O的半徑為4，∴AO=2OE=8，
∴AE=4

3

，∠AOE=60°，∴AB=12，
∴BC=

1

2

AB=6，AC=6

3

，
∴CE=AC-AE=2

3

．
∵OB=OF，∠ABC=60°，
∴△OBF是正三角形．
∴∠FOB=60°，CF=6-4=2，∴∠EOF=60°．
∴S_梯形OECF=

1

2

（2+4）×2

3

=6

3

．
 S_扇形EOF=

60π×42

360

=

8

3

π                     
∴S_陰影部分=S_梯形OECF-S_扇形EOF=6

3

-

8

3

π．

點評：本題考查了切線的判定與性質及扇形面積的計算，解題的關鍵是連接圓心和切點，利用過切點且垂直于過切點的半徑來判定切線．