Question

（2012•寧波）如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2

2

，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E，F，連接EF，則線段EF長度的最小值為

3

．

Answer 1

分析：由垂線段的性質可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，此時線段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，當半徑OE最短時，EF最短，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直徑AD，由圓周角定理可知∠EOH=

1

2

∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂徑定理可知EF=2EH．

解答：解：由垂線段的性質可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，
如圖，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2

2

，
∴AD=BD=2，即此時圓的直徑為2，
由圓周角定理可知∠EOH=

1

2

∠EOF=∠BAC=60°，
∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1×

3

2

=

3

2

，
由垂徑定理可知EF=2EH=

3

．
故答案為：

3

．

點評：本題考查了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形的綜合運用．關鍵是根據運動變化，找出滿足條件的最小圓，再解直角三角形．