Question

（1）閱讀下列材料，補全證明過程：
已知：如圖，矩形ABCD中，AC、BD相交于點O，OE⊥BC于E，連接DE交OC于點F，作FG⊥BC于G．求證：點G是線段BC的一個三等分點．

證明：在矩形ABCD中，OE⊥BC，DC⊥BC，
∴OE∥DC，∵

OE

DC

=

1

2

，∴

EF

FD

=

OE

DC

=

1

2

∴

EF

ED

=

1

3

．…
（2）請你仿照（1）的畫法，在原圖上畫出BC的一個四等分點（要求保留畫圖痕跡，可不寫畫法及證明過程）．

Answer 1

分析：（1）欲證點G是線段BC的一個三等分點，由圖可知，只需證明

GC

BC

=

1

3

即可．由于矩形ABCD中，OB=OC，OE⊥BC于E，則E為BC的中點．易證OE為△BCD的中位線，則

OE

DC

=

1

2

．由OE∥CD，得出

EF

FD

=

OE

DC

=

1

2

，由比例的性質可知，

FD

ED

=

2

3

．再由FG∥DC，得出

GC

EC

=

FD

ED

=

2

3

，而BC=2EC，從而求出

GC

BC

=

1

3

；
（2）由（1）的畫法，可知連接DG交OC于點H，作HI⊥BC于I，則點I是線段BC的一個四等分點．

解答：解：（1）在矩形ABCD中，OB=OC，OE⊥BC于E，
∴E為BC的中點，
又O為BD的中點，
∴OE為△BCD的中位線，
∴

OE

DC

=

1

2

．
∵OE⊥BC，DC⊥BC，
∴OE∥DC，
∴△OEF∽△CDF．
∴

EF

FD

=

OE

DC

=

1

2

，
∴

EF

ED

=

1

3

，

FD

ED

=

2

3

．
又∵FG∥DC，

GC

EC

=

FD

ED

=

2

3

，
∴

GC

BC

=

GC

2EC

=

2

6

=

1

3

．
∴點G是BC的一個三等分點；

（2）依題意畫圖如下：如圖，點I即為所求．

點評：本題考查平行線分線段成比例定理，要根據平行找準對應關系．