Question

【題目】已知：四邊形ABCD是正方形，E是AB邊上一點，F是BC延長線上一點，且DE=DF．
（1）如圖1，求證：DF⊥DE；
（2）如圖2，連接AC，EF交于點M，求證：M是EF的中點．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴DA=DC，∠DAE=∠DCB=90°．

∴∠DCF=180°﹣90°=90°．

∴∠DAE=∠DCF．

在Rt△DAE和Rt△DCF中， ，

∴Rt△DAE≌Rt△DCF（HL）．

∴∠ADE=∠CDF，

∵∠ADE+∠CDE=90°，

∴∠CDF+∠CDE=90°，

即∠EDF=90°，

∴DF⊥DE

（2）證明；過點F作GF⊥CF交AC的延長線于點G，

則∠GFC=90°．

∵正方形ABCD中，∠B=90°，

∴∠GFC=∠B．

∴AB∥GF．

∴∠BAC=∠G．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，

∴∠BAC=∠BCA=45°．

∴∠BAC=∠BCA=∠FCG=∠G=45°．

∴FC=FG．

∵△DAE≌△DCF，

∴AE=CF．

∴AE=FG．

在△AEM和△GFM中， ，

∴△AEM≌△GFM（AAS）．

∴ME=MF．

即M是EF的中點

【解析】（1）由正方形的性質得出DA=DC，∠DAE=∠DCB=90°．得出∠DAE=∠DCF．由HL證明Rt△DAE≌Rt△DCF，得出∠ADE=∠CDF，證出∠EDF=90°即可；（2）證明；過點F作GF⊥CF交AC的延長線于點G，則∠GFC=90°．AB∥GF．得出∠BAC=∠G．由正方形的性質證出FC=FG．得出AE=FG．由AAS證明△AEM≌△GFM，得出ME=MF即可．
【考點精析】利用正方形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．