Question

【題目】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA為邊在∠ACB的另一側作∠ACM＝∠ACB，點D為射線CM上任意一點，在射線CM上載取CE＝BD，連接AD、AE.

(1)如圖1，當點D落在線段BC的延長線上時，求證：△ABD≌△ACE；

(2)在(1)的條件下，求出∠ADE的度數；

(3)如圖2，當點D落在線段BC（不含端點）上時，作AH⊥BC，垂足為H，作AG⊥EC,垂足為G，連接HG，判斷△GHC的形狀，并說明現由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2） ；（3）HGC為等邊三角形，理由見解析.

【解析】

（1）利用SAS定理證明△ABD≌△ACE；（2）根據全等三角形的性質得到AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，根據等腰三角形的性質、三角形內角和定理計算即可求得∠ADE的度數；

解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠ABC＝∠ACB＝30°，

∵∠ACM＝∠ACB，

∴∠ACM＝∠ABC，

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE.

（2）由（1）可知，△ABD≌△ACE，

∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．

∴∠CAE＋∠DAC＝∠BAD＋∠DAC＝∠BAC＝120°．即∠DAE＝120°．

∵AD＝AE，

∴∠ADE＝∠AED＝30°；

(3)HGC為等邊三角形.

理由;

∴HGC為等邊三角形.