Question

【題目】如圖，為等邊的高，，點P為直線上的動點（不與點B重合），連接，將線段繞點P逆時針旋轉60°，得到線段，連接、．

（1）問題發現：如圖①，當點D在直線上時，線段與的數量關系為_________，_________；

（2）拓展探究：如圖②，當點P在的延長線上時，（1）中結論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；

（3）問題解決：當時，請直接寫出線段的長度．

Answer 1

【答案】（1）相等；90°；（2）成立，證明見解析；（3）4或

【解析】

（1）連接AD，通過SAS證明，然后對應邊、對應角相等、等量減等量，即可得出結論；

（2）連接AD，通過SAS證明，然后對應邊、對應角相等、等量加等量，即可得出結論；

（3）通過前兩問，我們知道是等邊三角形，點D的軌跡是AP旋轉60°得來的，A為定點，P再BC上運動是主動點，D為從動點，根據瓜豆原理可以得出D的軌跡是一條直線；BM長為定值、也為定值，利用定弦定角模型可知點D還應在圓弧上，因為點P可能在B點上方，還可能在C點下方，所以軌跡應為兩段圓弧；通過以上分析可以作出圖形，找到兩種軌跡的交點，確定D點，求出AD即求出AP．

解：（1）相等；90°；

∵是等邊三角形，

∴，

由旋轉的性質可得：，，

∴是等邊三角形，

∴，

∴

即

在與中，

∵，

∴，

∴，

∴

（2）成立，證明如下：

如圖②，連接，

∵是等邊三角形，

∴，

由旋轉的性質可得：，，

∴是等邊三角形，

∴，

∴，

，

∴，

在與中，

∵，

∴，

∴，．

∵，

∴

（3）點P在直線BC上運動，由瓜豆原理可知，D點也應在直線上運動，在BC上選取兩個特殊的P點位置，按照題意作出對應D點，然后連接點D所在直線確定；因為所以BM所對圓心角為60°，按照圓心在BM左側和右側兩種情況，作出點D所在兩端圓弧，直線與兩端圓弧交點，即滿足題意的點D，具體圖形如下：

AP1=AD1=4；

AP2=AD2=

綜上所述，AP長為4或．