Question

如圖，在直角坐標系中，O為坐標原點．已知反比例函數y=

k

x

（k＞0）的圖象經過點A（2，m），過點A作AB⊥x軸于點B，且△AOB的面積為

1

2

．
（1）求k和m的值；
（2）點C（x，y）在反比例函數y=

k

x

的圖象上，求當1≤x≤3時函數值y的取值范圍；
（3）過原點O的直線l與反比例函數y=

k

x

的圖象交于P、Q兩點，試根據圖象直接寫出線段PQ長度的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據三角形的面積公式先得到m的值，然后把點A的坐標代入y=

k

x

，可求出k的值；
（2）根據反比例函數得性質求解；
（3）P，Q關于原點對稱，則PQ=2OP，設P（a，

1

a

），根據勾股定理得到OP=

a2+( 1 a )2

=

(a- 1 a )2+2

，從而得到OP最小值為

2

，于是可得到線段PQ長度的最小值．

解答：解：（1）∵A（2，m），
∴OB=2，AB=m，
∴S_△AOB=

1

2

•OB•AB=

1

2

×2×m=

1

2

，
∴m=

1

2

；
∴點A的坐標為（2，

1

2

），
把A（2，

1

2

）代入y=

k

x

，得

1

2

=

k

2

∴k=1；
（2）∵當x=1時，y=1；當x=3時，y=

1

3

，
又∵反比例函數y=

1

x

，在x＞0時，y隨x的增大而減小，
∴當1≤x≤3時，y的取值范圍為

1

3

≤y≤1；
（3）由圖象可得：P，Q關于原點對稱，
∴PQ=2OP，
反比例函數解析式為y=

1

x

，設P（a，

1

a

），
∴OP=

a2+( 1 a )2

=

(a- 1 a )2+2

，
∴OP最小值為

2

，
∴線段PQ長度的最小值為2

2

．

點評：本題考查了點在圖象上，點的橫縱坐標滿足圖象的解析式；也考查了三角形的面積公式以及代數式的變形能力．