Question

【題目】提出問題：

（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E，H分別在BC，AB上，若AE⊥DH于點O，求證：AE=DH；

類比探究：

（2）如圖2，在正方形ABCD中，點H，E，G，F分別在邊AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于點O，探究線段EF與HG的數量關系，并說明理由；

綜合運用：

（3）在（2）問條件下，HF∥GE，如圖3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求圖中陰影部分的面積。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）EF=GH（3）

【解析】（1）由正方形的性質可得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．又由∠ADO+∠OAD=90°，可證得∠HAO=∠ADO，繼而證得△ABE≌△DAH，可得AE=DH；

（2）將FE平移到AM處，則AM∥EF，AM=EF，將GH平移到DN處，則DN∥GH，DN=GH．根據（1）的結論得AM=DN，所以EF=GH；

（3）過點F作FP⊥BC于點P，易證得△AHF∽△CGE，即可求得EC，AF的長，繼而求得EF的長，然后由平行線分線段成比例定理，求得，然后分別求出△FOH與△EOG的面積，即可求得答案．

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH，

∴∠HAO+∠OAD=90°，

∵AE⊥DH，

∴∠ADO+∠OAD=90°，

∴∠HAO=∠ADO，

∴△ABE≌△DAH（ASA），

∴AE=DH;

（2）EF=GH，理由如下：

將FE平移到AM處，則AM∥EF，AM=EF，

將GH平移到DN處，則DN∥GH，DN=GH，

∵EF⊥GH，

∴AM⊥DN，

根據（1）的結論得AM=DN，所以EF=GH；

（3）解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，

∴∠AHO=∠CGO，

∵FH∥EG，

∴∠FHO=∠EGO，

∴∠AHF=∠CGE，

∴△AHF∽△CGE，

∴，

∵EC=2，

∴AF=1，

過F作FP⊥BC于點P，

根據勾股定理得EF=，

∵FH∥EG，

∴，

根據（2）知EF=GH，

∴FO=HO，

∴，

，

∴陰影部分面積為.