Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD于點O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E、F，設AD=2，BC=4，則四邊形AEFD的周長是（　　）

• A、6
• B、8
• C、10
• D、12

Answer 1

分析：首先過點A作AK∥BD，交CB的延長線于K，易證得四邊形AKBD是平行四邊形，又由四邊形ABCD是等腰梯形，根據三線合一與直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的知識，即可求得AE=

1

2

CK，又由AD∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，可得四邊形AEFD是矩形，即可求得DF=AE，EF=AD，則可求得四邊形AEFD的周長．

解答：解：過點A作AK∥BD，交CB的延長線于K，
∵AD∥BC，
∴四邊形AKBD是平行四邊形，
∴AK=BD，BK=AD，AK∥BD，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∴AK=AC，
∵AC⊥BD，
∴AK⊥AC，
∵AE⊥CK，
∴EK=EC，
∴AE=

1

2

CK=

1

2

（BC+BK）=

1

2

（BC+AD）=

1

2

×（2+4）=3，
∵AD∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴DF=AE=3，
四邊形AEFD是矩形，
∴EF=AD=2，
∴四邊形AEFD的周長是：AE+EF+DF+AD=3+2+3+2=10．
故選C．

點評：此題考查了等腰梯形的性質，矩形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質以及直角三角形的性質等知識．此題難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．