Question

（滿分14分）如圖，⊙O的半徑為1，點P是⊙O上一點，弦AB垂直平分線段OP，點D是劣弧AB上任一點（與端點A、B不重合），DE⊥AB于點E，以點D為圓心、DE長為半徑作⊙D，分別過點A、B作⊙D的切線，兩條切線相交于點C．

（1）求弦AB的長；
（2）判斷∠ACB是否為定值，若是,求出∠ACB的大小；否則,請說明理由；
（3）記△ABC的面積為S，若，求△ABC的周長.

Answer 1

(1)
(2)略
(3)解析:
（1）連接OA，取OP與AB的交點為F，則有OA＝1．

∵弦AB垂直平分線段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF．
在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，
∴AB＝2AF＝．
（2）∠ACB是定值.
理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，
因為點D為△ABC的內心，所以，連結AD、BD，則∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，
因為∠DAE＋∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；
（3）記△ABC的周長為l，取AC，BC與⊙D的切點分別為G，H，連接DG，DC，DH，
則有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.
∴
＝AB•DE＋BC•DH＋AC•DG＝ (AB＋BC＋AC) •DE＝l•DE．
∵＝4，∴＝4，∴l＝8DE.
∵CG，CH是⊙D的切線，∴∠GCD＝∠ACB＝30°，
∴在Rt△CGD中，CG＝DE，∴CH＝CG＝DE．
又由切線長定理可知AG＝AE，BH＝BE，
∴l＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，解得DE＝，∴△ABC的周長為．