Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線分別交BC、AD于點F． E，垂足為O．

(1)求證：四邊形AFCE為菱形；

(2)若AB=4，BC=8，求菱形AFCE的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）20

【解析】

（1）先證明△AOE≌△COF，得出OE＝OF，再根據EF垂直平分AC，可得出四邊形AFCE為菱形；

（2）設AF＝x，由AB＝4，BC＝8，得BF＝8x，根據勾股定理可得出AF的長，根據菱形的面積求解即可．

（1）證明：∵EF垂直平分AC，

∴OA＝OC，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴AD∥BC，

∴∠EAO＝∠FCO，∠AOE＝∠COF，

在△AOE和△COF中，

∠EAO＝∠FOC

AO＝CO

∠AOE＝∠COF，

∴△AOE≌△COF，

∴OE＝OF，

∴四邊形AFCE為菱形；

（2）解：設AF＝x，

∵AB＝4，BC＝8，∴BF＝8x，

∴AF2＝AB2＋BF2，

∴x2＝42＋（8x）2，

∴x＝5，

∴S菱形AFCE＝FCAB＝5×4＝20，

∴菱形面積為20．