Question

（2013•孝感）如圖1，已知正方形ABCD的邊長為1，點E在邊BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．
（1）圖1中若點E是邊BC的中點，我們可以構造兩個三角形全等來證明AE=EF，請敘述你的一個構造方案，并指出是哪兩個三角形全等（不要求證明）；
（2）如圖2，若點E在線段BC上滑動（不與點B，C重合）．
①AE=EF是否總成立？請給出證明；
②在如圖2的直角坐標系中，當點E滑動到某處時，點F恰好落在拋物線y=-x²+x+1上，求此時點F的坐標．

Answer 1

分析：（1）取AB的中點G，連接EG，利用ASA能得到△AGE與△ECF全等；
（2）①在AB上截取AM=EC，證得△AME≌△ECF即可證得AE=EF；
②過點F作FH⊥x軸于H，根據FH=BE=CH設BH=a，則FH=a-1，然后表示出點F的坐標，根據點F恰好落在拋物線y=-x²+x+1上得到有關a的方程求得a值即可求得點F的坐標；

解答：（1）解：如圖1，取AB的中點G，連接EG．               
△AGE與△ECF全等．　                       

（2）①若點E在線段BC上滑動時AE=EF總成立．
證明：如圖2，在AB上截取AM=EC．
∵AB=BC，
∴BM=BE，
∴△MBE是等腰直角三角形，
∴∠AME=180°-45°=135°，
又∵CF平分正方形的外角，
∴∠ECF=135°，
∴∠AME=∠ECF．       
而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△AME≌△ECF．
∴AE=EF．       
②過點F作FH⊥x軸于H，
由①知，FH=BE=CH，
設BH=a，則FH=a-1，
∴點F的坐標為F（a，a-1）
∵點F恰好落在拋物線y=-x²+x+1上，
∴a-1=-a²+a+1，
∴a²=2，a=±

2

（負值不合題意，舍去），
∴a-1=

2

-1．
∴點F的坐標為F(

2

，

2

-1)．

點評：本題考查了二次函數的綜合知識，題目中涉及到了全等的知識，還滲透了方程思想，是一道好題．