Question

【題目】將一副直角三角板按如圖1 擺放在直線AD 上（直角三角板OBC 和直角三角板MON，∠OBC=90°，∠BOC=45°，∠MON=90°，∠MNO=30°），保持三角板OBC 不動，將三角板MON 繞點O 以每秒8°的速度順時針方向旋轉t 秒．

（1）如圖2，當t=　 　秒時，OM 平分∠AOC，此時∠NOC﹣∠AOM= ；

（2）繼續旋轉三角板MON，如圖3，使得OM、ON 同時在直線OC 的右側，猜想∠NOC與∠AOM 有怎樣的數量關系？并說明理由（數量關系中不能含t）；

（3）直線AD 的位置不變，若在三角板MON 開始順時針旋轉的同時，另一個三角板OBC也繞點O 以每秒2°的速度順時針旋轉，當OM 旋轉至射線OD 上時，兩個三角板同時停止運動．

①當t= 秒時，∠MOC=15°；

②請直接寫出在旋轉過程中，∠NOC 與∠AOM 的數量關系（數量關系中不能含t）．

Answer 1

【答案】(1) t=2.8125，45；（2）∠NOC﹣∠AOM=45°；(3)①5或10；②∠NOC﹣∠AOM=15°．

【解析】

（1）根據角平分線的定義得到∠AOM=∠AOC=22.5°，于是得到t=2.8125，由于∠MON=90°，∠MOC=22.5°，即可得到∠NOC﹣∠AOM=∠MON﹣∠MOC﹣∠AOM=45°；

（2）根據題意得∠AON=90°+8t，求得∠NOC=90°+8t﹣45°=45°+8t，即可得到結論；

（3）①根據題意得∠AOB=2t，∠AOM=8t，求得∠AOC=45°+2t，列方程即可得到結論；

②根據角的和差即可得到結論．

（1）∵∠AOC=45°，OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠AOC=22.5°，∴t=2.8125．

∵∠MON=90°，∠MOC=22.5°，∴∠NOC﹣∠AOM=∠MON﹣∠MOC﹣∠AOM=45°；

（2）∠NOC﹣∠AOM=45°．

∵∠AON=90°+8t，∴∠NOC=90°+8t﹣45°=45°+8t．

∵∠AOM=8t，∴∠NOC﹣∠AOM=45°；

（3）①∵∠AOB=2t，∠AOM=8t，∴∠AOC=45°+2t，∴45°+2t﹣8t=15°或8t﹣45°﹣2t=15°．

解得：t=5或10．

②∠NOC﹣∠AOM=15°．

∵∠AOB=2t，∠AOM=8t，∠MON=90°，∠BOC=45°．

∵∠AON=90°+∠AOM=90°+8t，∠AOC=∠AOB+∠BOC=45°+2t，∴∠NOC=∠AON﹣∠AOC=90°+8t﹣45°﹣2t=45°+6t，∴∠NOC﹣∠AOM=15°．