Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過點A（﹣6，0），B（2，0），C（0，﹣6）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P為第三象限內拋物線上的一點，設△PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時點P的坐標；
（3）設拋物線的頂點為D，DE⊥x軸于點E，在y軸上是否存在點M，使得△ADM是直角三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+c經過點A（﹣6，0），B（2，0），C（0，﹣6），

∴ ，解得 ．

∴拋物線的解析式為：y= x2+2x﹣6

（2）

解：如圖，過點P作x軸的垂線，交AC于點N．

設直線AC的解析式為y=kx+m，由題意，得

，解得 ，

∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣6．

設P點坐標為（x， x2+2x﹣6），則點N的坐標為（x，﹣x﹣6），

∴PN=PE﹣NE=﹣（ x2+2x﹣6）+（﹣x﹣6）=﹣ x2﹣3x．

∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，

∴S= PNOA= ×6（﹣ x2﹣3x）=﹣ （x+3）2+ ，

∴當x=﹣3時，S有最大值 ，此時點P的坐標為（﹣3，﹣ ）

（3）

解：在y軸上是存在點M，能夠使得△ADM是直角三角形．理由如下：

∵y= x2+2x﹣6= （x+2）2﹣8，

∴頂點D的坐標為（﹣2，﹣8），

∵A（﹣6，0），

∴AD2=（﹣2+6）2+（﹣8﹣0）2=80．

設點M的坐標為（0，t），分三種情況進行討論：

①當A為直角頂點時，如圖3①，

由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，

即（0+6）2+（t﹣0）2+80=（0+2）2+（t+8）2，

解得t=3，

所以點M的坐標為（0，3）；

②當D為直角頂點時，如圖3②，

由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，

即（0+2）2+（t+8）2+80=（0+6）2+（t﹣0）2，

解得t=﹣7，

所以點M的坐標為（0，﹣7）；

③當M為直角頂點時，如圖3③，

由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，

即（0+6）2+（t﹣0）2+（0+2）2+（t+8）2=80，

解得t=﹣2或﹣6，

所以點M的坐標為（0，﹣2）或（0，﹣6）；

綜上可知，在y軸上存在點M，能夠使得△ADM是直角三角形，此時點M的坐標為（0，3）或（0，﹣7）或（0，﹣2）或（0，﹣6）

【解析】（1）已知拋物線上的三點坐標，利用待定系數法可求出該二次函數的解析式；（2）過點P作x軸的垂線，交AC于點N，先運用待定系數法求出直線AC的解析式，設P點坐標為（x， x2+2x﹣6），根據AC的解析式表示出點N的坐標，再根據S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面積，運用頂點式就可以求出結論；（3）分三種情況進行討論：①以A為直角頂點；②以D為直角頂點；③以M為直角頂點；設點M的坐標為（0，t），根據勾股定理列出方程，求出t的值即可．