Question

【題目】已知：在Rt△ABC，∠ABC=90°，∠C=60°，現將一個足夠大的直角三角板的頂點P放在斜邊AC上．

（1）設三角板的兩直角邊分別交邊AB、BC于點M、N．

①當點P是AC的中點時，分別作PE⊥AB于點E，PF⊥BC于點F，得到圖1，寫出圖中的一對全等三角形；

②在①的條件下，寫出與△PEM相似的三角形，并直接寫出PN與PM的數量關系．

（2）移動點P，使AP=2CP，將三角板繞點P旋轉，設旋轉過程中三角板的兩直角邊分別交邊AB、BC于點M、N（PM不與邊AB垂直，PN不與邊BC垂直）；或者三角板的兩直角邊分別交邊AB、BC的延長線與點M、N．

③請在備用圖中畫出圖形，判斷PM與PN的數量關系，并選擇其中一種圖形證明你的結論；

④在③的條件下，當△PCN是等腰三角形時，若BC=3cm，則線段BN的長是 ．

Answer 1

【答案】(1)、①△AEP≌△PFC；理由見解析；②、△PFN∽△PEM，PN=PM；理由見解析；(2)、③、答案見解析；④、1cm或5cm

【解析】

試題分析：(1)、①求出∠AEP=∠B=∠PFC=90°，∠APE=∠C=60°，根據AAS推出兩三角形全等即可；②求出AB=BC，求出PE=BC，PF=AB，推出，求出∠EPM=∠NPF=90°﹣∠MPF，∠PEM=∠PFN=90°，根據相似三角形的判定推出△PFN∽△PEM，推出，即可得出答案；(2)、③過P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，求出△AEP∽∠PFC，推出=2，設CF=x，則PE=2x，求出PF=x，證△PEM∽△PFN，推出即可；④求出CP=2cm，分為兩種情況：第一種情況：當N在線段BC上時，得出△PCN是等邊三角形，求出CN=CP=2cm，代入BN=BC﹣CN求出即可；第二種情況：當N在線段BC的延長線上時，求出CN=PC=2cm，代入BN=BC+CN求出即可．

試題解析：(1)、①△AEP≌△PFC，

理由是：∵P為AC中點，∴AP=PC，∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠B=90°，∴∠AEP=∠B=∠PFC=90°，

∴PF∥AB，PE∥BC，∴∠APE=∠C=60°，在△AEP和△PFC中∴△AEP≌△PFC（AAS）．

②、△PFN∽△PEM，PN=PM，

理由是：∵在Rt△ACB中，∠ABC=90°，∠C=60°，∴AB=BC，

∵PE∥BC，PF∥AB，P為AC中點，∴E為AB中點，F為BC中點，∴PE=BC，PF=AB，

∴，∵∠PEB=∠B=∠PFB=90°，∴∠EPF=90°，∵∠MPN=90°，

∴∠EPM=∠NPF=90°﹣∠MPF，∵∠PEM=∠PFN=90°，∴△PFN∽△PEM，∴，∴PN=PM．

(2)、③PM=2PN，如圖，

過P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，∵∠AEP=∠PFC=∠B=90°，∴PE∥BC，∴∠APE=∠C，

∴△AEP∽∠PFC，∴===2，設CF=x，則PE=2x，在Rt△PFC中，∠C=60°，∠PFC=90°，

∴PF=x，∵在四邊形BFPE中，∠BFP=∠B=∠BEP=90°，∴∠EPF=90°，即∠EPM+∠MPF=90°，

∵∠NPF+∠MPF=90°，∴∠NPF=∠EPM，∵∠MEP=∠PFN=90°，∴△PEM∽△PFN，

∴===，∴PM=PN．

④、∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=60°，BC=3cm ∴AC=2BC=6cm，∵AP=2PC，∴CP=2cm，

分為兩種情況：第一種情況：當N在線段BC上時，如圖

∵△PCN是等腰三角形，∠C=60°，CP=2cm，∴△PCN是等邊三角形，∴CN=CP=2cm，

∴BN=BC﹣CN=3cm﹣2cm=1cm；

第二種情況：當N在線段BC的延長線上時，如圖，

∵∠PCN=180°﹣60°=120°，∴要△PCN是等腰三角形，只能PC=CN，即CN=PC=2cm，

∴BN=BC+CN=3cm+2cm=5cm，即BN的長是1cm或5cm，