Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，連接BD，點(diǎn)H為BD的中點(diǎn)．請(qǐng)解答下列問題：

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）在y軸上找一點(diǎn)P，使PD+PH的值最小，則PD+PH的最小值為　 　．

（注：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸是直線x=﹣，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，）

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，D（1，4）（2）

【解析】

(1)直接將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

(2)求得點(diǎn)H關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)H′，連接H′D與y軸交于點(diǎn)P，此時(shí)PD+PH最小.

（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）

∴

解得

∴所求函數(shù)的解析式為：y=﹣x2+2x+3

y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4

∴頂點(diǎn)D（1，4）

（2）∵B（3，0），D（1，4）

∴中點(diǎn)H的坐標(biāo)為（2，2）其關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)H′坐標(biāo)為（﹣2，2）

連接H′D與y軸交于點(diǎn)P，則PD+PH最小

且最小值為： =

∴答案：