Question

【題目】如圖，在平行四邊形中，， ，，， 垂足為，在平行四邊形的邊上有一點，且.將平行四邊形折疊，使點與點合，折痕所在直線與平行四邊形交于點、．

（1）求的長；

（2）請補全圖形并求折痕的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）補全圖形見解析；折痕的長為5或．

【解析】

（1）在Rt△ADE中，，，求得，再根據勾股定理即可求解；

（2）分點O在AB和AD兩類討論，當點在上時，可得是等邊三角形.求得；點點O在AD上時，過點、分別作， ，

垂足分別為、， 連接，.求出，，，根據折疊性質，結合勾股定理，求出，進而求出，利用面積法即可求得．

(1)∵，， ，

∴.

∴.

∴.

（2）如圖1所示，當點在上時，

∵， ，

∴.

∵四邊形是平行四邊形，

∴，， .

∴.

∵將平行四邊形折疊，使點與點重合，

∴折痕垂直平分，即，

.

∵折痕與平行四邊形的邊交于點，

∴點與點重合.

∵，

∴.

∴.

∴.

∵，

∴是等邊三角形.

∴.

如圖2所示，當點在上時，

過點、分別作， ，

垂足分別為、， 連接，.

∵四邊形是平行四邊形，，

∴，，

∴，

∵， ，

∴.

∵在中， ，

∴.

∴，

.

∴在中，，

由折疊可知，，.

∴在中，，

即.

∴.

∴，，

∴.

∴四邊形為矩形.

∴，

∵，

∴

∴.

綜上所述，折痕的長為5或.